\(\triangleright\) Définition d'une base orthonormée dans l'espace de Hilbert
Une base de l'espace de Hilbert est formé d'une suite de vecteurs \(\ket{V_i}\in\mathcal H\) avec \(i=1,2,....\).
Pour être orthonormée, ces vecteurs doivent vérifier les conditions suivantes:
1) Le Produit scalaire Hermitien montre l'orthogonnalité de deux vecteurs d'ondes différents et une norme normale (égale à 1) de ces derniers (famille orthonomale de \(\mathcal H\)):
$${{\langle V_i|V_j\rangle}}={{\delta_{i,j} }}$$
$$\text{avec}\quad\delta_{i,j}=1 \quad \text{si } {{i=j}}$$
$${{\delta_{i,j}=0}}\quad \text{sinon}$$
2) Une famille maximale / complète :
\(\forall \,\,\ket{\Psi}\in\mathcal H\) se décompose tel que :$$\ket{\Psi}={{\sum_{i=1,2,...}\lambda_i\ket{V_i} }}$$$\(\text{avec }\lambda_i\in\Bbb C\text{ :composante}\)$
Pour obtenir les composantes: \(\lambda_i=\langle V_i|\Psi_i\rangle\)
\(\triangleright\) Composition d'un vecteur d'onde dans une base orthonormé de l'espace d'Hilbert
$$\ket{\Psi}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ ..\\ ..\end{pmatrix}$$
Avec \(\lambda_i\in\Bbb C\) la composante qui dépend de la base choisie
